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선형성과 선형대수
선형대수학(linear algebra)
선형대수학(linear algebra)은 문자 그대로 연산의 선형성을 다루는것이다. 선형성을 따지기 위해서는 선형연산이 적용되는것을 확인해야한다.
선형연산(linear operations) 이항연산(binary operation)과 스칼라곱(scalar multiplication)
선형연산(linear operations)에는 이항연산(binary operation)과 스칼라곱(scalar multiplication)이 있으며, $V$가 비어있지 않은 집합일때 $\ast : V \times V \rightarrow V$이와 같은 상황에서 $V$에 대한 이항연산이라 부른다.
$\cdot : R \times V \rightarrow V$에서는 $V/R$에 대한 스칼라곱이라 부른다.
백터공간(vertor space)
위와 같은 선형연산을 가지는 집합을 백터공간(vertor space)라고 부고 여기에는 다음과 같은 규칙들이 있다.
$(v,t):abelian \;group$
$(v,t):group$
결합법칙(associativity) : $(v+w)+u=v+(w+u)$ for $v,w,u \in V$
항등원(identity) : $\exists 0_0 \in V$ s.t. $v+0_0=0_0+v=v$ in $\forall v \in V$
역원(inverse) : $\forall v \in V, \exists v^` \in V s.t. v+v^` =v^`+v=0$
교환법칙(commutative property) : $v+w=w+v$ for $w,v \in V$
분배법칙(distributivity) $ in \; a,b\in R \; v,w\in V$
$(a+b)v = av+bv$
$(ab)v = a(bv)$
$A(v+w)=av+aw$
$1 \cdot v =v$, $\forall v \in V$
선형사상(linear map)
두개의 백터공간이 입력과 출력이 되는 함수가 선형성을 가질경우 선형사상(linear map)이라 한다.
선형대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra, FTLA)
선형대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra, FTLA)에 따르면 선형사상과 행렬은 같은것으로 취급할 수있다.
MATH
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Basic
· 2023-07-21
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이항정리
팩토리얼(factorial)
1에서 부터 $n$까지의 숫자를 전부 곱하는것을 $n!$라고 표기할 수 있으며 이를 팩토리얼(factorial)이라고 한다. 수식을 정리하면
$n! := \underset{1 \leq m \leq n}{\prod} m = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ 와 같다.
이항정리(binomical theorem) 이항계수(binomical coefficient)
두개의 항을 가진 이항식을 거듭제곱을 하는경우를 단항식으로 나열하는것을 이항정리(binomical theorem)라고 하며 수식으로는 ${(a+b)}^n = \underset{r=0}{\overset{n}{\sum}}{n \choose r}a^rb^{n-r}$ 와 같이 표현을 한다.
이항정리에서 사용하는 계수를 이항계수(binomical coefficient)라고 하며 다음과 같이 정의한다 . ${n \choose r} := { n! \over r!(n-r)!}$
다항정리(multinomical theorem) 다항계수(multinomical coefficient)
이항정리와 이항계수를 차수를 높여서 포면 고차항에서도 사용이 가능하며 이를 다항정리(multinomical theorem)와 다항계수(multinomical coefficient)라고 한다. 다항정리는 다음과 같이 표현하며
${(a_1+ \cdots +a_n)}^n = \underset{\underset{r_i \in N \cup {{0}}}{r_1+ \dots +r_k=1}}{\overset{n}{\sum}}{n \choose r_1, \cdots, r_k}a_1^{r1} \cdots a_k^{r_k}$
다항계수는 다음과 같이 표현한다.
${n \choose r_1, \cdots, r_k} := { n! \over (r_1, \dots , r_k)!}$
$\quad n, r_1, \cdots, r_k \in N \cup {{0}}, \overset {k}{\underset {i=1}{\sum}}r_i=n$
MATH
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Basic
· 2023-07-20
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함수
이진관계와(binary relation) 순서쌍(ordered pair)
집합 $A, B$가 있을때 $a \in A, \; b \in B$일경우 $A$에서 $B$로의 이진관계(binary relation)($R$)는 순서쌍(ordered pair) (a,b)로 이루어진 집합이며 $A \times B$의 부분집합이다.
함수(function)
$f \subset A \times B$이면서 $a \in A$와 매칭되는 유일한 $b \in B$를 가질경우 $f$를 $A$에서 $B$로 향하는 함수(function)라고 칭한다.
정의역(domain) 공역(codomain) 치역(range / image) 그래프(graph)
$(a,b) \in f$에서 $x \in A$의 경우 $A$를 정의역(domain)이라고 하고 $y \in B$의 경우 $B$를 공역(codomain)이라고 한다. $A$에서 $B$로 향하는 $f(A) := {{f(x) \; : \; x \in A}}$는 치역(range / image)이라고 한다.
$f: A \rightarrow B$에서 $G(f) := {{(x,f(x) \; : \; x \in A }} \subset A \times B$ 인 경우 $G$를 $f$의 그래프(graph)라고 한다.
단사(injective / one-to-one) 전사(surjective/ onto) 일대일대응(bijective / an one-to-one correspondence)
함수에는 다양한 형태의 함수가 있으며 $A$에서 $B$로 향하는 함수가 있을 경우 $A$의 원소가 유일 할경우 이를 단사(injective / one-to-one)라고 칭하며 아래와 같이 나타낸다.
$f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$
$i.e., \;$ $\forall y \in f(A), \exists! x \in A \; s.t. \; y=f(x)$
$B$의 원소가 모두 사용될경우 이를 전사(surjective/ onto)라고 칭하며 아래와 같이 나타낸다.
$f(A)=B$ i.e. $f(A) \supset B$
$i.e., \; $ $\forall y \in B, \exists x \in A \; s.t. \; y=f(x)$
단사와 전사가 한번에 적용이 될경우를 일대일대응(bijective / an one-to-one correspondence)이라고 칭하며 아래와 같이 나타낸다.
$\forall y \in B, \exists !x \in A \; s.t. \; y=f(x)$
역함수(inverse function) preimage(역상)
$y=f(x)$가 있을때 $f^{-1}(y)=x$로 사용한 함수를 $f^{-1} : B \rightarrow A$인 상태의 역함수(inverse function)라고 지칭한다.
역함수와 서로 오해하기 쉬운것으로 오해하지 말아야 하는것이 있는데 그것을 역함수이면서 일대일대응 인것을 preimage(역상)이라 하며 $f^{-1}(Q) := {{x \in A :f(x) \in Q }}$를 $f$에 대한 $Q$의 역상이라 한다.
이동(translation)
$f:R \cdots> R$인 함수에서 함수 $y = f(x)$에서 $y+b=f(x-a)$로 변환된다면 이를 $x$축에서 $a$만큼 이동(translation), $y$축에서 $b$만큼 이동한다고 볼 수 있다. 또한 $y=f(ax)$은 $x$축에서 $1\over a$만큼 팽창(expansion)하고 $y = af(x)$은 $y$축에서 $a$만큼 팽창한다고 볼 수 있다.
볼록함수(convexity)
함수의 경우 다양한 형태의 모양을 가지게 되는데 $f: R \cdots > R$, $x,y \in Dom(f) \; with \; x<y \; and \; t \in [0,1]$에서 $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$일경우는 볼록형(convex) $f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$일경우는 오목형(concave)이다.
$e.g., \; $로그 그래프와 같은 형태를 오목형이라고 한다.
MATH
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Basic
· 2023-07-18
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