선형대수학(linear algebra) #

선형대수학(linear algebra)은 문자 그대로 연산의 선형성을 다루는것이다. 선형성을 따지기 위해서는 선형연산이 적용되는것을 확인해야한다.

선형연산(linear operations) 이항연산(binary operation)과 스칼라곱(scalar multiplication) #

선형연산(linear operations)에는 이항연산(binary operation)과 스칼라곱(scalar multiplication)이 있으며, $V$가 비어있지 않은 집합일때 $\ast : V \times V \rightarrow V$이와 같은 상황에서 $V$에 대한 이항연산이라 부른다.

$\cdot : R \times V \rightarrow V$에서는 $V/R$에 대한 스칼라곱이라 부른다.

백터공간(vertor space) #

위와 같은 선형연산을 가지는 집합을 백터공간(vertor space)라고 부고 여기에는 다음과 같은 규칙들이 있다.

$(v,t):abelian \;group$

$(v,t):group$

결합법칙(associativity) : $(v+w)+u=v+(w+u)$ for $v,w,u \in V$

항등원(identity) : $\exists 0_0 \in V$ s.t. $v+0_0=0_0+v=v$ in $\forall v \in V$

역원(inverse) : $\forall v \in V, \exists v^` \in V s.t. v+v^` =v^`+v=0$

교환법칙(commutative property) : $v+w=w+v$ for $w,v \in V$

분배법칙(distributivity) $ in \; a,b\in R \; v,w\in V$

• $(a+b)v = av+bv$
• $(ab)v = a(bv)$
• $A(v+w)=av+aw$

$1 \cdot v =v$, $\forall v \in V$

선형사상(linear map) #

두개의 백터공간이 입력과 출력이 되는 함수가 선형성을 가질경우 선형사상(linear map)이라 한다.

선형대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra, FTLA) #

선형대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Linear Algebra, FTLA)에 따르면 선형사상과 행렬은 같은것으로 취급할 수있다.